원/달러 환율과 엔/달러 환율에서의 분수공적분 관계에 대한 연구

2004.1

조하현 (연세대 경제학과 교수)

이승국 (연세대 경제학과 박사과정)

Ⅰ. 서론

우리나라는 대외 수출의존도가 높은데다 세계시장에서 일본과의 수출경합도도 매우 높아 구조적으로 원/달러 환율이 엔/달러 환율에 동조화될 수 있는 가능성이 높다. 특히 2003년 들어 일본경제의 회복과 미국의 환율조정압력으로 미달러화에 대한 엔화 환율의 지속적인 변동(평가절상)이 기대되므로 현시점에서 원/달러 환율과 엔/달러 환율의 관계에 대한 분석은 중요한 연구주제라고 판단된다.

원/달러 환율의 움직임은 거시경제환경을 주시하는 정책당국자들과 수출입 기업 뿐 아니라 금융시장참여자들에게 매우 중요한 정보를 제공한다. 특히 외국인들의 투자자금유입 추이에 크게 의존하는 국내 주식시장의 경우에는 원/달러 환율변화가 투자자들의 거래관련 의사결정에 지대한 영향을 미치기 때문이다. IMF 외환위기 이후 엔/달러 환율이 크게 변동할 때마다 원화 환율의 동조화 가능성이 제기되고 있는데, 그 원인을 살펴보면 다음과 같이 정리될 수 있다.

) 이러한 경향은 원화 환율 뿐 아니라 다른 동남아국가들도 보여주고 있다. 97년 외환위기 이전 태국, 인도네시아 등 동남아국가들은 미달러화에 페그된 고정환율제도를 채택하고 있었으나 외환위기 이후 엔화 동조화 현상이 뚜렷이 나타나고 있다.

첫째, 97년 이후 주요 제품에서 일본과의 수출경합도가 높아지고 있으며, 둘째는 외환시장에 대한 규제를 대폭 완화한 결과 시장심리 및 해외요인의 변화가 원화 환율에 미치는 속도가 빨라졌으며, 마지막으로 금융시장 분석가들이 원화 환율의 움직임에 대한 선행지표(leading indicator)로 엔화 환율을 이용하고 있기 때문이다.

이러한 원화의 엔화동조화는 수출경합도가 높은 일본제품과의 가격경쟁력 변화를 줄여 수출변동을 줄이는 긍정적인 효과도 가지고 있지만, 결제통화인 달러화와 동조화통화인 엔화간의 불일치로 기업이 직면하는 환리스크를 증가시키는 부작용도 가지고 있다.

) 이외에도 단기 엔화자금의 유입증가로 금융시장의 교란이 발생할 가능성도 존재한다.

이와 같이, 원/달러 환율과 엔/달러 환율의 상관관계에 대한 관심은 높지만, 이 두 환율행태에 대한 기존 실증연구는 상당히 부족한 실정이다. 현재가지 국내에서 수행된 연구는 대부분 단순 상관관계나 반응도 산출, 또는 선형회귀분석에 그치고 있다. 이근영(2000)은  조건부 이분산 모형인 이변량 GARCH모형을 이용하여 두 환율이 양(+)의 상관관계를 가지고 있음을 보였으며, 자본시장 개방 이후에 상관성이 강해지고 있음을 제기한 바 있다.

) 반응도는 (원화 환율의 변동률/엔화 환율의 변동률)로 계산된다.

일반적으로 계량경제학에서 단위근(unit root)을 가지는 비정상적인 명목환율들 사이의 관계는 공적분에 대한 검정으로 수행될 수 있는데, 이에 대한 외국연구는 Baillie-Bollerslev(1989, 1994), Diebold-Gardeazabal-Yilmaz(1994) 등이 있다.

이들의 연구를 간략하게 살펴보면, Johansen방식의 공적분 검정법을 이용한 Baillie-Bollerslev(1989)는 7개국의 명목환율이 모두 단위근을 가지고 있으며 공적분을 통해 장기적으로는 균형관계를 가진다고 주장하였다. 이러한 주장은 일국 환율에 기반하여 타국 환율에 대한 예측이 가능하다는 점에서 많은 관심을 받았으며, 그에 따라 후속연구가 이어졌는데, Sephton-Larsen(1991)은 Baillie-Bollerslev(1989)가 사용한 표본자료를 기간별로 구분하여 분석한 결과, 공적분관계의 존재가 불안정하게 나타남을 보였다.

Diebold et al.(1994)은 동일한 표본자료에 대해 Johansen방식의 공적분 검정법을 적용한 결과, 장기적인 균형관계에 대한 증거는 발견하였지만 마팅게일에 오차수정항을 포함하는 예측모형이 단순한 마팅게일모형에 비해 예측오차를 줄이지 못함을 보였다. 이러한 실증적인 결과로 볼 때, Diebold et al.(1994)는 명목환율들 사이에 장기적인 관계가 존재하기는 하지만 상당히 불안정하다고 주장하였다.

이와 같이, Johansen방식의 공적분검정이 혼재된 결과를 보이므로 Baillie-Bollerslev(1994)는 Engle-Granger(1987)의 2단계 공적분 검정방식을 이용하여 기존 연구결과를 다시 검토하여 보았다. 이들은 명목환율이 기존 공적분의 관점에서는 장기적인 균형관계를 가지고 있지 않으며 균형오차가 장기에 걸쳐서 사라진다는 사실을 발견하였다. 이들은 이러한 결과가 환율동학에 포함된 장기기억구조와 관련되어 있기 때문으로 추론하여 Hosking 등이 제기한 분수차분기법을 적용하여 보았다. 균형오차에 대한 차분계수를 추정한 결과, d가 0.89로 비정수로 나타났으므로 이들은 명목환율들이 표준적인 공적분관계가 아니라 균형오차가 매우 느리게 사라지는 분수공적분(fractional cointegration) 관계를 가지고 있는 것으로 결론내렸다.

이러한 결과로 판단해 볼 때, 표준적인 공적분검정이 혼재된 결과를 보이는 것에 대한 가능한 하나의 설명은 저빈도(low frequency)의 동태적 행태에 대한 표준적인 단위근 검정의 낮은 검정력 때문으로 볼 수 있다. 오직 정수차분만을 허용하는 단위근 검정방식은 분수차분과정에 대해서는 낮은 검정력을 보일 수 있는데, Diebold-Rudebusch(1991)은 시뮬레이션을 통해서 Dickey-Fuller타입의 단위근 검정이 이러한 약점을 가지고 있음을 보였다. 따라서 균형오차가 I(d)과정(0<d<1)을 따르는 장기기억과정이라면 기존 공적분 검정방식은 이러한 특성을 포착할 수 없게 된다. 이와는 달리, 분수차분모형은 차분계수(d)를 비정수 값으로 허용함으로서 [eqn: I`(1)`/`I`(0)`]의 면도날 구분을 피할 수 있다. 이러한 방식은 균형관계에서의 이탈행태에 대해 보다 광범위한 평균회귀동학을 탐색할 수 있다는 장점을 가진다.

) 표준적인 공적분검정은 결국 변수들간의 선형결합인 공적분벡터를 추정한 후 얻어지는 균형오차가 단위근을 가지는지를 파악하는 것이므로 I(0)/I(1)과정에 대해 너무 엄격한 구분을 하는 것이다. 이에 대해서는 이후에 보다 자세히 설명할 것이다.

한편, 환율동학에서 나타나는 장기기억특성은 구매력평가설(Purchasing Power Parity : PPP)의 성립여부에 대한 실증분석에도 이용될 수 있는데, Cheung-Lai(1993)는 변동환율기간동안 엔화의 실질환율이 PPP수준으로 회귀하는지를 실증분석하여 보았다. 이들은 환율에서 PPP로의 회귀성향을 탐색하는데 있어 기존 실증분석결과의 불일치가 장기기억동학의 존재때문이라고 주장하였다. 구체적으로, 이들은 몬테칼로 시뮬레이션을 통해 환율의 평균회귀특성이 표준적인 단위근검정에 의해 파악되지 않을 수 있으며, 정수차분형태의 표준적인 단위근검정은 분수차분과정에 대해서는 낮은 검정력을 가지고 있음을 보였다. 따라서 이들은 실질환율의 저빈도 행태(low-frequency behavior)를 분석하면서 이러한 비판을 피하기 위해 분수차분과정을 이용하였다. 분수차분모형에 기반하여 장기기억구조를 적절히 모형화할 경우, 엔화 환율은 평균회귀성향을 보여주었다.

) 절대적 의미에서 PPP이론은 동일한 통화로 표시된 공통의 상품묶음이 모든 나라에서 같은  비용으로 구매될 수 있어야 함을 의미한다. 이러한 재정조건(parity condition)은 완벽한 국가간 상품차익거래 가정에 의존하는 것이고, 많은 이론적, 실증적 환율결정모형에서 핵심이다. 한편, 상대적 PPP(Relative PPP)는 명목환율의 변화율이 국내물가지수와 외국물가지수의 증가율 차이와 같아야 함을 의미하는 것이다.

이러한 외국의 연구결과에 기반하여 본 연구는 원/달러 환율과 엔/달러 환율 시계열자료를 이용하여 균형관계에 대한 충격의 영향이 쌍곡선율로 느리게 감소하는 특성을 표현할 수 있는 분수공적분 관계의 존재 여부를 실증분석하려고 한다. 앞서 설명한 바와 같이, 기존 Johansen과 Engle-Granger의 공적분 검정방식은 이러한 분수공적분 관계의 존재를 포착할 수 없다. Engle-Granger의 2단계 검정법에서 균형오차는 단위근을 가지거나 정상적인 I(0)과정으로 제약된다. 분수공적분 분석은 균형오차의 차분계수를 비정수로 허용함으로써 이러한 제약을 완화한다. 구체적으로 환율동학에서 분수공적분은 균형오차가 분수차분된 장기기억과정을 따르고 있음을 의미한다. 즉, 이는 충격으로 인한 영향이 단기에 사라지지 않아 균형환율로의 회귀가 매우 느리게 나타남을 의미하는 것이다. 원/달러 환율과 엔/달러 환율이 분수공적분되어 있다면 오차수정항을 이용하는 예측모형(Error Correction Model : ECM)은 오직 장기의 시계(time horizon)에서만 유용할 것이다.

[그림 1] 엔화 절하에 따르는 원화 환율 동조화 경로

*참고 : 서영경, □원화와 엔화 환율 동조화의 원인과 대응방향□, 한국은행 보도자료, 2001.

[그림 1]은 엔/달러 환율의 평가절하에 따르는 원/달러 환율의 절하 메커니즘을 보여주고 있다. 그림에서 보이지는 않으나 IMF 위기이후 자본이동의 자유화, 자유변동환율제도 등도 동조화 가능성을 높이는 역할을 하는 것으로 판단된다.

본 논문의 구성은 다음과 같다.

제2장은 분수공적분을 이해하기 위해 단기기억과 장기기억, 단위근과 공적분에 대해 설명할 것이다. 다음 3장에서는 원/달러 환율과 엔/달러 환율 시계열자료를 이용한 실증분석결과를 정리하여 제시할 것이다. 마지막으로 4장에서는 결론 및 시사점이다.

Ⅱ. 분수공적분에 대한 이해

1. 단기기억과 장기기억

장기기억구조를 탐색하는 방법을 위해서는 장기와 단기 의존성 사이의 구별이 정확하게 이루어져야 한다. 통계학에서 단기의존성에 대한 일반적인 개념 중 하나는 Rosenblatt(1956)가 제기한 □strong-mixing" 개념이다. 이는 멀리 떨어져 있는 관찰치들 사이의 통계적 의존성 감소를 측정하는 것으로 특정한 두 관찰치간 최대 의존성이 시점이 길어질수록 무시할 수 있을 정도로 감소하는 과정을 의미한다. 관찰치들 사이의 의존성이 줄어드는 속도를 조절함으로써 의존성이 있는 확률과정에 대수의 법칙(Law of Large Number)과 중심극한정리(Central Limit Theorem)를 적용할 수 있게 된다.

Lo(1991)와 Baillie(1996)는 단기기억과정에 대한 실용적인 정의로 이러한 strong-mixing 개념을 채택하였다. 구체적으로 확률과정 [eqn: Y_t`]의 분산이 다음 식을 만족하면 이를 단기기억특성을 가진다고 정의한다.

[eqn: 0`<` sigma^2 `=` lim from { n -> inf }E` LEFT [ { 1} over {n } ( SUM from { {t}=1} to n Y_t `)^2 RIGHT ] ``<``inf]

이러한 조건은 시계열분석에서 일반적으로 가정하는 정상성 조건(stationarity condition)과 유사하다. 하지만, 모든 형태의 단기의존성이 이러한 조건을 만족하는 것은 아니다. 예를 들어, [eqn: Y_t`]가 정상적인 시계열의 1차 차분이라면, 그것의 분광밀도(spectral density)는 진동수 0에서 사라지므로 위 조건을 만족하지 않는다. 그러나 그러한 과정이 장기기억을 가지고 있지 않으므로 크게 문제되지는 않는다.

) strong-mixing과 단기기억과정의 조건에 대한 자세한 논의는 Lo(1991)을 참조하시오.

한편, 금융시계열에 대한 최근의 실증연구들은 시계열에 가해지는 충격의 지속성(persistence)이 가지는 역할을 강조하고 있다. 이러한 지속성에 대한 기존 연구는 주로 시계열자료에서 단위근이 존재하는지를 검정함으로써 수행되었다. 이는 공적분 관계에 대한 검정으로 전개되고 있지만, 충격지속성 정도에 대한 측정에서 I(0)와 I(1)과정 사이의 면도날 같은 구별(knife-edge distinction)은 너무 제약적인 것이라는 비판이 제기되었다. 이에 따라 Granger-Joyeux(1980), Hosking(1981) 등은 충격의 영향이 오랜 기간 지속되는 특성을 표현해줄 수 있는 분수적분 ARMA모형(fractionally integrated ARMA : ARFIMA)을 제기하였다. 이러한 ARFIMA모형에서는 차분계수([eqn: d`])가 반드시 정수일 필요가 없으며 [eqn: LEFT | d RIGHT |<1/2]일 때 시계열은 정상적이고 가역적인 ARMA과정이 된다. 이러한 ARFIMA과정은 I(0)과정에서 자기상관의 지수적 감소(exponential decay)와 I(1)과정에서의 무한지속성(infinite persistence)을 포함하여, 자기상관이 쌍곡선율(hyperbolic rate)로 느리게 감소하게 되는 현상도 표현할 수 있으므로, ARFIMA모형은 ARIMA모형을 보다 일반화한 것으로 이해될 수 있다.

ARFIMA모형을 설명하기 위해 먼저 다음과 같은 ARIMA(p,d,q)모형을 고려해보자.

[eqn: PHI` (L)`(1-L)^d `Y_t```=`` THETA `(L)`epsilon_t]	(1)

여기서, [eqn: PHI (L)`=`1`-`phi_1`L-...- phi_p ` L^p],

[eqn: THETA ` (L)`=`1- `theta_1`L-...- theta_q`L^q],

[eqn: epsilon_t ``SIM` IID`(`0`, `sigma_epsilon^2 ``)]임.

한편 분수차분 연산자인[eqn: {(1-L)}^{d }] 는 이항전개(binomial expansion)를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: (1-L)^d ```=`` SUM from { { j}=0} to inf { GAMMA` (j-d) `L^j } over { GAMMA` (-d) GAMMA` (j+1) }]

[eqn: ``=``1-dL+ { d(d-1)} over {2!}`L^2 `-` { d`(d-1)(d-2)} over {3!}`L^3 `+cdot cdot cdot]	(2)

여기서 [eqn: GAMMA ( CDOT )]는 감마함수를 나타내며, 차분계수 [eqn: d`]는 임의의 실수라고 가정한다.

ARIMA모형의 경우에 [eqn: d`]는 항상 정수의 값을 갖는다. 즉, ARIMA모형에 있어서 시계열이 정상적인 경우에 [eqn: d=0`]의 값을 가지며 단위근이 존재하는 비정상적인 경우에는 1 이상의 값을 가진다. 반면, ARFIMA모형은 ARIMA모형을 일반화한 것으로 [eqn: d`]가 정수가 아닌 실수값을 가질 수 있다.

ARFIMA과정 [eqn: Y_t`]는 [eqn: PHI (L)]과 [eqn: THETA (L)]의 모든 근이 단위원(unit circle) 외부에 있고 [eqn: LEFT | `d` RIGHT |`<`0.5`]이면, 정상적이고 가역적인 시계열이다. [eqn: d`>=`0.5`]가 되면, 이 과정은 무한분산(infinite variance)을 가지게 되므로 비정상적인 시계열이다. 차분계수 [eqn: d`]가 0이 아니고 (0, 0.5)범위내에 있다고 가정하면, ARFIMA과정의 자기상관함수 [eqn: rho ( CDOT )]은 시차 [eqn: k -> INF]일 때[eqn: {k}^{2d-1 }]에 비례하게 된다.

이와 같이, ARFIMA과정에서 자기상관함수는 쌍곡선율로 느리게 감소하여 0에 접근한다. 이는 [eqn: k -> INF]일 때, 자기상관이 지수적으로 빠르게 감소하는 ARMA과정과는 구별되는 것이다. 그리고 저진동수 영역에서 분광밀도함수(spectral density function), [eqn: f`( omega )]는 무한대(unbounded)가 될 것이다.

앞서 언급한 바와 같이, [eqn: 0`<`d`<`0.5`]인 경우, [eqn: k`]가 커짐에 따라 자기상관함수[eqn: {k}^{2d-1 }]는 0으로 수렴하지 않으므로 자기상관계수 절대치의 합인[eqn: SUM from { { j}=-k} to k LEFT | rho (j) RIGHT |]은 궁극적으로 발산하게 된다. 진동수영역에서 ARFIMA과정 [eqn: Y_t`]의 멱분광(power spectrum)은 다음과 같이 표현될 수 있다.

[eqn: f`( lambda )``=`` LEFT { 4`sin^2 ( lambda /2)RIGHT }^-delta `f_e `( lambda ), ~~~ lambda` IN [0, pi ]]	(3)

여기서 [eqn: f_e ( lambda )]은 양(+)의 값을 가지며 유계(bounded)인 ARMA과정의 멱분광이다.

위 식에서 [eqn: 0`<` delta` <`1`]인 ARFIMA과정은 Granger(1966)가 보인 바와 같이 경제변수의 전형적인 스펙트럼 형태를 보일 수 있으며, Mandelbrot(1972)가 제기한 일반화 파레토분포(Generalized Paretian Distribution)을 표현할 수 있다.

이상의 내용을 좀더 자세히 살펴보도록 하자.

차분계수 [eqn: d`]를 비정수로 허용함으로써 분수차분모형은 표준적인 시계열모형보다 보다 넓은 저빈도, 평균회귀 동학을 포괄할 수 있게 된다. 평균회귀 특성은 [eqn: d`<`1`]인지에 의존하는데, 식 (1)은 특수한 경우로 [eqn: d`=`1`]을 포함한다. [eqn: d`=`1`]과 [eqn: d`<`1`]사이의 구별은 시계열 [eqn: Y_t`]의 평균회귀성향을 파악하는 데 있어서 상당히 중요하다. 즉, [eqn: d`=`1`]인 경우에는 충격의 영향은 영구히 지속되지만, [eqn: d`<`1`]인 과정에서는 아주 느리게 감소하지만 결국에는 사라져 0이 된다.

이는 식 (1)의 이동평균(MA) 표현식을 이용하여 보여질 수 있다.

[eqn: (1-L)`Y_t `=`A(L) epsilon_t]	(4)

여기서 [eqn: A(L) = 1+A_1 L +A_2 L^2 +...]이고, [eqn: A(L) =(1-L)^1-d C(L)]에서 도출되며, [eqn: C(L)= PHI^-1 (L) THETA (L)]이다.

이러한 이동평균계수 [eqn: A_i `]를 Campbell-Mankiw(1987)는 충격반응계수(impulse response coefficient)라고 하였다. 따라서 시점 [eqn: t`]에서 시계열 [eqn: Y_t `]에 대해 가해지는 한 단위의 충격은 시점 [eqn: t+k`]에서 [eqn: A_1 +A_2 ...+A_k `]가 된다. 결론적으로, 평균회귀과정에서는 이러한 누적충격반응계수의 무한합 [eqn: A(1)`]이 0이 되며, 이는 충격의 영향이 결국에는 사라지게 됨을 의미하는 것이다.

Cheung-Lai(1993)는 [eqn: d`<`1`]일 경우에 [eqn: A(1)=0]이 되므로 충격의 영향이 소멸하며, [eqn: d`>=`1`],[eqn: A(1)` != `0]이면 충격의 효과는 영구히 사라지지 않음을 보였다. 즉, 평균회귀성향([eqn: A(1)=0])은 [eqn: d`<`1`]인 경우에만 나타난다. 따라서 분수차분에 대한 검정이 평균회귀의 존재를 결정하는데 이용될 수 있으며 [eqn: d`]의 크기를 통해 충격의 지속성 정도까지 파악할 수 있다.

이러한 ARFIMA과정의 주요 특성을 이용한 장기지속성(Long-Range Dependence : LRD)에 대한 정의를 살펴보도록 하자. 우선, Baum et al.(1999)은 [eqn: 0`<`d`<`0.5`]인 경우를 장기기억 또는 양(+)의 장기지속성(Long-Range Positive Dependence : LRPD)을 가지는 과정으로 정의하였다.

[eqn: -0.5`<`d`<`0`]인 경우, 이를 중간기억(intermediate memory) 또는 음(-)의 장기지속성(Long-Range Negative Dependence : LRND)이라고 하며, [eqn: d`=`0`]인 경우를 단기기억만을 보이는 정상적이고 가역적인 ARMA과정으로 정의하였다. 한편, [eqn: 0.5`≤`d`<`1`]의 경우, 이 과정은 정상적인 시계열은 아니지만 궁극적으로 평균회귀성향을 나타내며, 이는 충격의 영향이 무한 지속적이지 못함을 의미하는 것이다.

이러한 정의와 유사하게, Baillie(1996)는 시계열이 [eqn: 0`<`d`<`0.5`]일 때 자기상관함수 절대치의 극한합이 무한하다는 점에서 이를 장기기억(long memory)이라고 정의하였다. 한편, [eqn: -0.5`<`d`<`0`]의 경우를 반지속적 과정(anti-persistent process)으로 정의하며, 이 경우, 시차 0을 제외한 모든 자기상관은 음(-)이고 쌍곡선율로 느리게 0으로 감소하게 된다.

이상에서 우리는 장기지속성의 정의를 차분계수 [eqn: d`]값의 범위와 연관하여 고려하여 보았다. 설명한 바와 같이, 추정된 [eqn: d`]값을 이용하여 파악할 수 있는 시계열의 특성은 추세복귀(trend-reversion) 여부이다. Hassler-Wolters(1995)는 분수차분모형을 이용한 주요 선진국에 대한 인플레이션에 대한 연구에서 [eqn: d`]가 0이나 1과 같은 정수값이 아니라 [eqn: 0`<`d`<`1`] 사이의 비정수값을 가지고 있으므로 인플레이션이 장기기억구조를 가지고 있으며 평균회귀과정이라고 주장하였다. 이러한 주장의 근거는 [eqn: d`<`1`]일 때 누적충격반응함수의 극한치가 0이 되기 때문이다.

이러한 장기기억과 장기지속성에 대한 연구가 금융시장분석에 대해 가지는 함의는 Batten-Ellis(1996)에 의해 연구되었다. 그들은 1987년부터 1993년까지 미달러화(UDS)/일본 엔화(Yen)의 일일 환율자료가 장기기억구조를 가지는지를 검정하였다. 실증연구의 결과는 R/S분석(ReScaled analysis)을 사용하여 USD/Yen 환율이 H>0.5임을 보임으로서 지속적인 추세(persistent trend)를 가지고 있음을 보였다. 이러한 결과는 환율에서 장기기억효과가 존재함을 제기하는 것으로, 이러한 특성을 이용하여 시장참여자들은 달러/엔 환율이 상승(하락)하기 시작하는 시점에서 엔화에 대한 매도(매수)포지션을 가짐으로써 양(+)의 이윤을 얻을 수 있다는 것이다.

) 여기서 지속적인 추세(persistent trend)를 표현하는 차분계수 d는 R/S분석에서 도출되는 허스트지수와 연관된다. 두 측정치의 이론적인 관계는 H=d+0.5이므로 0<d<0.5의 장기의존적인 과정은 0.5<H<1에 해당된다. 허스트지수에 대한 자세한 논의는 조하현·이승국,『카오스와 금융시장』(2002, 세경사) 제10장, 13장을 참조하시오.

장기기억특성은 주식시장의 거래전략에 대해서도 중요한 함의를 가지는데, 예를 들어, [eqn: 0`<`d`<`0.5`] (0.5<H<1)인 지속적인 기억을 가지는 시장이나 특정자산에 대해서는 매수-보유전략(buy & hold strategy)으로 초과이윤을 얻을 수 있으며, [eqn: -0.5`<`d`<`0`] (0<H<0.5)인 반지속적(anti-persistent)인 과정에서는 수시로 매매하여 차익이윤(arbitrage profits)을 획득하는 전략이 보다 더 바람직함을 알 수 있다.

2. 분수차분계수의 추정

앞절에서는 시계열의 장기기억특성을 모형화할 수 있는 ARFIMA모형에 대해 살펴보았다. 본절에서는 ARFIMA모형에 기반하여 차분계수를 추정하는 분수차분기법에 대해 검토할 것이다.

ARFIMA모형은 자기상관함수의 쌍곡선율 감소라는 특성을 표현하는 것으로 이를 이용한 장기기억에 대한 검정은 차분계수([eqn: d`])가 0의 값을 갖는가에 대한 검정에 의해 실시된다. 즉, ARFIMA모형에서 [eqn: d`]가 0의 값을 갖는 경우는 ARIMA모형과 동일한 형태가 되며 이러한  시계열에는 단기기억만이 존재하게 된다. 그러나 [eqn: d`]의 값이 0과 유의적으로 다르다면 이러한 과정에는 장기기억구조가 존재한다고 할 수 있다.

여기서는 차분계수 [eqn: d`]를 추정하기 위해서 Spectral regression에 기반하는 GPH방식을 이용할 것이다. 이 기법은 차분계수의 추정에 있어 피리오도그램(periodogram)의 단순회귀분석에 기초하여 2단계로 수행된다. 추정의 첫 단계는 0의 진동수 영역에서의 분광밀도함수를 이용하여 차분계수 [eqn: d`]를 추정하는 것이다. 두 번째 단계는 추정된 [eqn: d`]의 값을 바탕으로 장기기억필터에 의해 시계열자료를 변환시켜 이를 ARMA(p,q)로 모형화하여 p와 q를 추정하는 것이다. 분수공적분 관계에 대한 검정에서는 균형오차가 장기기억구조를 가지는지만 확인하면 되므로 여기서는 분수차분계수의 추정단계인 1단계만 진행할 것이다. 2단계는 일반적인 ARMA모형의 추정방식을 적용하여 별다른 어려움없이 시행할 수 있다.

) 이 방식에 대한 자세한 설명은 Geweke, Porter, and Hudak(1983)을 참조하시오.

우선 다음과 같은 [eqn: k`]차 차분하여 정상성을 회복하는 시계열을 고려해보자.

[eqn: X_t ```=``(1-L)^k `Y_t]	(5)

여기서 우리는 다음 식의 [eqn: delta`]를 추정하려고 한다.

) 시계열 [eqn: Y_t `]가 정상적인 경우에는 k차 차분이 필요하지 않으므로 이 경우에는 식 (6)에서 바로 차분계수를 추정하면 된다.

[eqn: (1-L)^delta `X_t ```=`` B(L)` epsilon_t ```==`` u_t]	(6)

원래 시계열 [eqn: Y_t `]의 차분계수(d)는 식 (6)의 [eqn: delta +k`]과 같다. 만일 추정결과가 [eqn: delta =0]이고 [eqn: k=1`]이라면 이는 곧 [eqn: d=1]임을 의미하므로 [eqn: Y_t `]에 하나의 단위근이 존재함을 가리키는 것이 된다.

이 경우에 [eqn: X_t `]의 분광밀도함수는 앞서 식 (3)에서 정의된 것과 같다.

[eqn: f_X `( lambda )= LEFT | 1-exp(-i lambda ) RIGHT |^-2delta` f_u ( lambda ) =[4sin^2 ( lambda /2)]^-delta` f_u ( lambda )]	(7)

여기서 [eqn: f_u ( lambda )]는 정상적인 과정 [eqn: u_t]의 분광밀도함수이다.

표본크기가 T인 경우에 j번째 푸리에 진동수를 다음과 같이 나타내도록 하자.

[eqn: lambda_j ```= ``{ 2 pi j} over {T }]

여기서 [eqn: j`=`1,2,...,m]으로 [eqn: 0`<`m`<T`]이다.

식 (7)에 로그를 취하고 [eqn: ln LEFT { f_u (0) RIGHT }]를 더하고 빼면 다음 식을 얻을 수 있다.

[eqn: ln LEFT {f_X `( lambda ) RIGHT } ```=``ln LEFT { f_u `(0) RIGHT }``-``delta `ln LEFT { 4 `sin^2 ( lambda /2`) RIGHT }``+``ln LEFT { f_u `( lambda )/f_u `(0) RIGHT }]	(8)

이를 단순 선형회귀식으로 표현하면 다음과 같다.

[eqn: ln LEFT {I`(`lambda_j `) RIGHT } ```=`` beta_0 ``+`` beta_1 ` ln LEFT { 4` sin^2 `( lambda_j `/`2`) RIGHT }``+`` eta_j]	(9)

여기서 [eqn: beta_0]는 상수항 [eqn: ln LEFT { f_u (0) RIGHT }]이며 [eqn: eta_j]는 IID과정이다.

) 여기서 [eqn: eta_j]가 식 (9)의 마지막 항인 [eqn: ln LEFT { f_u ( lambda )/f_u (0) RIGHT }]가 아님에 유의해야 한다.

만일 0 근처의 저진동수영역을 고려한다면, 이 항은 무시해도 좋을 정도로 작은 값을 가질 것이다. 따라서 종좌표 [eqn: lambda_j]에서의 periodogram을 [eqn: I( lambda_j )]로 나타내면, 양변에 [eqn: ln LEFT { I( lambda_j ) RIGHT }]을 더하고 정리하면 다음 식을 얻을 수 있으며 [eqn: eta_j]는 다음 식에서의[eqn: ln LEFT {I( lambda_j )/f_X ( lambda_j ) RIGHT }]를 의미한다.

[eqn: ln LEFT {I(lambda_j )RIGHT } =ln LEFT { f_u (0) RIGHT }-delta `ln LEFT { 4 sin^2 ( lambda_j /2) RIGHT }+ln LEFT {I( lambda_j )/f_X ( lambda_j ) RIGHT }]

따라서 [eqn: beta_1 =-delta `]이며 이 회귀식을 추정함으로써 우리는 [eqn: delta`]에 대한 추정치를 얻을 수 있다. 단, 이러한 회귀식은 0 근처의 진동수영역에서만 성립한다는 점에 유의해야 한다.

이 경우에 [eqn: beta_1]에 대한 OLS추정치는 [eqn: delta`]의 일치추정량이며 점근적으로 정규분포를 가지는 것으로 알려져 있다. 결국 분수차분과정에서 차분계수는 식 (9)에서 로그 피리오도그램(periodogram)을 0 근처의 진동수영역에서 [eqn: ln LEFT { 4 sin^2 ( lambda_j /2) RIGHT }]라는 설명변수에 대해 단순회귀분석을 수행함으로써 얻어진다. 이러한 회귀분석 결과, [eqn: delta=0]이라는 가설을 기각할 수 없다면 이 시계열에는 단기기억만이 존재함을 의미한다. GPH방식에 의한 ARFIMA모형에 대한 추정은 장기의존성의 정도를 나타내는 차분계수([eqn: d`])를 먼저 추정한 다음, 단기기억특성을 보여주는 AR계수(p)와 MA계수(q)를 추정함으로서 시계열의 특성을 보다 유연하게 파악할 수 있다. 게다가 이러한 방식은 관찰치들 사이의 장기의존성을 시차를 표현하는 p와 q가 아니라 분수차분계수 d로만 표현하므로 기존 ARIMA모형에 비해 훨씬 모수절약적(pasimonious)이다.

여기서는 실증분석에서 원/달러 환율과 엔/달러 환율의 공적분 잔차의 차분계수를 GPH방식으로 추정할 것이다. 다음 절에서는 표준적인 공적분의 개념과 분수공적분에 대해 검토한다.

3. 공적분과 분수공적분

일반적으로 공적분(cointegration)의 개념은 단기에는 서로 다른 방식으로 움직일 수 있지만 장기적 균형관계를 가지는 둘 이상의 시계열과 관련되어 있는 것이다. 이러한 개념은 경제학과 금융이론에서 장기간 일정한 형태로 유지되는 변수들간의 관계가 존재할 수 있다는 생각을 반영하는 것이다. 공적분의 개념은 Granger(1986)와 Engle-Granger(1987)에 의해 처음으로 소개되었고, 그 이후 Johansen(1988)에 의해 검정방식의 발전이 이루어졌다.

어떤 시계열 [eqn: y_t`]를 [eqn: d`]번 차분하여 정상적이고 가역적인 ARMA과정이 된다면, 그 시계열은 차수 [eqn: d`]로 적분되어 있으며 [eqn: I`(d)]로 표현될 수 있다. 이러한 두 시계열[eqn: {y}_{1,t } SIM I(d)]와 [eqn: {y}_{2,t } SIM I(d)]를 고려해보자. 우선 선형 공적분관계로만 관심을 제한한다면, 다음을 만족하는 0이 아닌 공적분 벡터[eqn: { gamma }_{2 }]가 존재하면 이 두 시계열은 공적분되어 있다고 말할 수 있다.

) Engle-Granger방식이나 Johansen방식은 식 (10)에서와 같은 선형의 공적분관계만을 검정하는 것이다. 선형이 아닌 비선형 공적분검정방식에 대한 설명은 Granger-Hallman(1991)을 참조하시오.

[eqn: z_t ``=`` y_1,t ``+``gamma_2 `y_2,t ``` SIM`` I`(d-b)]	(10)

여기서 [eqn: d``>`b`>=`0`]이므로, 두 변수의 선형결합인 [eqn: z_t`]는 그 구성요소인 두 변수([eqn: y_1,t `,`y_2,t `])보다 낮은 차분계수를 가진다.

우리가 선형 공적분관계로만 관심을 제한하면 일반적으로 공적분의 필요조건은 동일한 차분계수를 가지는 것이다. 이와 같이, 이제껏 공적분에 대한 관심은 Robinson-Marinucci(1998)가 설명한 것과 같이 [eqn: d`=`1`]과 [eqn: b`=`1`]으로 설정하는 [eqn: I`(1)`/`I`(0)] 패러다임으로 제한되어 왔다. 그러므로 일반적인 공적분검정을 하기 위해서는 사전에 단위근검정을 먼저 수행해야 한다. 즉, 만약 두 시계열이 단위근-[eqn: I`(1)]과정-을 가진다면 두 가지 형태의 공적분 검정법이 시행될 수 있는데, 하나는 VAR(Vector AutoRegressive)의 framework을 사용하는 Johansen방식이고, 다른 하나는 OLS추정치의 잔차에 기반하는 2단계 최소자승법을 사용하는 Engle-Granger방식이다.

) Johansen방식의 공적분검정은 기존 Engle-Granger방식의 공적분검정법이 2변수 이상의 다변량분석에는 적절치 않음으로 제기된 방식이다. 또한 Engle-Granger의 공적분검정법은 분석대상 변수들을 종속변수와 설명변수로 분리하여 검정을 실시하여야 하는데 어느 것을 종속변수로 선택하느냐에 따라 검정결과가 다르게 나타난다는 단점을 지니고 있다. 이에 비해, Johansen검정법은 VAR모형에 기반하여 공적분관계를 추정하므로 모든 변수를 내생변수로 간주하므로 종속변수를 선택할 필요가 없다.

장기기억필터 또는 차분연산자(differencing operator)인 [eqn: (1-L)^d]를 적용하고 나서 정상적이고 가역적인 ARMA과정으로 표현되는 [eqn: I`(d)]과정에서 [eqn: d`]가 정수가 아니라 비정수라면, 이러한 과정은 분수적분(fractionally integrated)되어 있다. [eqn: I`(d)]과정인 시계열들 [eqn: y_t = LEFT { y_1t , y_2t , ..., y_nt RIGHT }]의 선형결합 [eqn: z_t `=` alpha` y_t]이 [eqn: I`(d-b)]가 될 때, 이를 [eqn: I`(d-b)]로 공적분되어 있다고 한다.

분수공적분(fractionally cointegration) 분석은 공적분 잔차항에서의 차분계수를 비정수로 허용함으로써 통상적인 공적분검정이 불리는 공적분 잔차항을 [eqn: I`(0)]로 제한하는 제약을 완화하는 것이다. 즉, [eqn: d-b`]가 0이 아니더라도 1보다 작아 평균회귀성향을 보이기만 하면 된다. 이는 공적분의 기반이 되는 아이디어인 Granger 표기정리(Granger representation theorem)에서 공적분 벡터 [eqn: alpha` y_t`]가 정상적(stationary)이기만 하면 되기 때문이다.

구체적으로 어떤 변수들에서 분수공적분 관계는 그것들의 균형오차항이 분수차분과정을 따르게 됨을 의미하는 것이다. 앞서 ARFIMA모형에 대한 설명에서 했듯이, [eqn: d`]가 정수가 아니라 분수인 경우, 시계열에 가해지는 충격의 효과는 쌍곡선율(hyperbolically)로 매우 느리게 감소하게 된다. 이는  충격으로 인한 균형으로부터의 단기이탈이 매우 느리게 사라지는 경향을 보이는 것이다. 이에 비해 통상적인 공적분관계가 성립한다면, 그 경우 균형오차항은 [eqn: I`(0)]가 되고, 충격에 대한 이탈은 상대적으로 빠르게 사라지게 된다.

예를 들어, 원/달러 환율과 엔/달러 환율이 서로 분수공적분되어 있다면, 이 두 시계열의 균형오차는 단기에는 빠르게 사라지지 않지만 평균회귀성향을 가지고 있으며 오차수정항을 이용한 예측은 오직 장기에만 유용할 수 있음을 의미한다. 다시 말해, 통상적인 공적분검정에서는 균형오차항을 [eqn: I`(0)]나 [eqn: I`(1)]으로 이분법적인 엄격한 구분을 하는 반면에, 분수공적분은 변수들간의 균형오차가 [eqn: I`(d)]과정([eqn: 0`<`d`<`1`])으로 분수차분되어 있는 것이다. 따라서 원래 시계열들은 분수공적분되어 있다고 할 수 있다.

) 엄밀하게 말하면, 분수공적분은 개별 시계열이 반드시 I(1)과정일 필요는 없다. 예를 들어, 0<d<1인 I(d)시계열들도 분수공적분 관계는 형성할 수 있다. 그러나, 균형오차항의 차분계수 b는 d보다 작아야 한다.

동일한 차분계수를 가지는 비정상적인 두 변수에 대한 분수공적분 검정을 수행하기 위해서는 다음과 같은 두 단계를 거쳐야 한다.

우선, 통상적인 공적분검정을 통해서 균형오차항을 구한다.

그 다음, 그 균형오차항에 대해 분수차분계수를 추정한다. 추정된 차분계수가 0과 1 사이의 비정수 값으로 나타난다면 해당 시계열들간에 분수공적분 관계가 존재함을 의미한다.

이러한 분수공적분 접근법은 Baillie-Pecchenino(1991)에 의해 명목환율과 기초경제여건 변수들간의 장기행태를 설명하기 위해 적용되었는데, 통상적인 공적분검정에서는 균형오차항이 I(0)임을 보이지 못했으나, 분수공적분 검정결과는 환율과 기초경제여건 변수들-표준적인 통화론적 모형내 변수(금리 차이, 상대물가 등)-간에 장기관계가 성립함을 보여주었다.

또한 Baillie-Bollerslev(1994)는 환율이 CI(1,1)의 통상적인 공적분관계를 가지고 있지 않다고 주장한 Diebold et al.(1994)의 연구를 분수공적분 접근법을 이용하여 주요국의 명목환율이 0과 1 사이의 비정수 차분계수([eqn: d`])를 가지는 [eqn: I`(d)]과정이므로, 장기균형관계에서 이탈은 궁극적으로 사라져 분수공적분 관계가 존재한다고 주장하였다.

한편, Brunetti-Gilbert(2000)는 분수공적분에 대한 검정에서 두 변수의 적분차수가 동일한지를 FIGARCH모형으로 먼저 확인하는 다음과 같은 절차를 제안하였다.

) FIGARCH모형은 GARCH모형에서 차분계수를 비정수로 확장한 것으로 2차 적률에서의 장기기억특성을 모형화하는 방식이다.

a. 두 시계열의 차분계수[eqn: { d}_{1}],[eqn: {d}_{2}]를 이변량 FIGARCH모형으로 추정한다.

b. 이 두 차분계수가 동일한지를 우도비검정법(Likelihood Ratio Test)을 이용하여 수행한다.

c. 두 시계열이 동일한 차분계수를 가지고 있다면, 가능한 공적분 선형결합을 추정하고 공적분 잔차의 차분계수([eqn: b`])를 결정한다. 만약 공적분의 필요조건이 성립한다면, 각 시계열의 차분계수가 동일한 경우 [eqn: d`>b`>=` 0`]인지를 확인하는 것이 곧 분수공적분에 대한 검정이 될 수 있다.

d. 만약 분수공적분 관계가 존재한다면, 오차수정 이변량 FIGARCH모형을 추정한다.

이들의 실증연구에서 이용된 자료는 원유선물이 거래되는 뉴욕의 NYMEX시장과 런던의 IPE시장의 1988년 6월부터 1999년 3월까지의 일별자료로 추정된[eqn: { d}_{1}],[eqn: {d}_{2}]는 1보다 작은 비정수로 우도비(LR) 검정결과는 두 분수차분계수가 동일함을 나타내었다. 두 시계열의 선형결합에 대한 [eqn: b`]의 추정치가 유의적으로 0과 다르지 않았으므로 NYMEX와 IPE시장의 변동성과정이 실제로 분수공적분되어 있다고 판단하였다.

이러한 결과에서 우리는 NYMEX와 IPE시장에 대한 변동성과정이 동일한 분수차분계수를 가지며 분수공적분 관계를 보이므로 이 두 시장이 서로 밀접하게 연관되어 있음을 알 수 있다. 또한 이는 두 시장에서 변동성에 대한 충격의 영향이 상당히 지속적인 장기기억특성([eqn: 0`<`d`<`1`])을 가지고 있으며, 두 시장의 변동성이 분수공적분 관계를 가지고 있으므로 균형관계로부터의 이탈은 일시적임을 예상할 수 있을 것이다. 이러한 장기 균형관계를 보이는 양 시장에서 일시적인 변동성의 차이가 나타난다면 이는 변동성 차이를 이용하는 스트래들 옵션거래(straddle option trading)를 유발하게 될 것이다. 특정시점에서 장기 균형관계로부터 상대적으로 변동성이 높은 시장에서 옵션을 매도하고 변동성이 상대적으로 낮은 시장에서 동일 옵션을 매수한다면 두 시장의 변동성이 결국 장기 균형관계로 수렴하게 될 것이므로 차익이윤(arbitrage profits)을 얻을 수 있을 것이다.

) 변동성이 높은 시장에서는 옵션가치가 변동성이 감소함에 따라 하락할 것이고, 변동성이 상대적으로 낮은 시장에서 옵션의 가치는 변동성이 상승함에 따라 증가할 것이기 때문이다.

실제 이러한 옵션거래가 이루어진다면 이는 두 시장의 변동성을 장기 균형관계로 회귀하도록 만들겠지만, 실제 양 시장의 변동성과정이 공적분되어 있지 않다면 이러한 거래전략은 매우 위험한 것이다. 따라서 변동성과정이 공적분되어 있는가하는 문제는 양 시장의 변동성 차이에서 차익거래기회(arbitrage opportunity)를 이용하려고 하는 이들에게는 상당히 중요한 실제적인 관심사가 되는 것이다.

Ⅲ. 실증분석

본 실증분석에서 사용한 자료는 미달러화에 대한 원화 환율과 엔화 환율의 일별 시계열 자료이다. 표본기간은 1990.3.2 ∼ 2002.6.28까지이며 총 관찰치 수는 2962개이다. 장기동학의 특성 파악을 위해서 가능한 한 장기간의 자료가 필요하므로 표본기간은 우리나라에서 시장평균환율제도가 시행된 1990년부터 선정하였다. 또한 IMF 외환위기 이후 두 환율 시계열자료의 관계 변화를 검토하기 위해 1998년 4월부터 시작하는 부분표본(partial sample)을 전체표본(full sample)에서 재구성하여 반영도와 상관계수 등을 추정하여 보았다.

) 본 실증분석은 두 환율 시계열변수의 정확한 관계를 파악하기 위한 것이므로 우리나라의 토요일 관찰치 등을 제외시켜 일자를 일치시켰다.

[그림 2] 원/달러 vs 엔/달러 환율변동

위 [그림 2]은 시장평균환율제를 시작한 1990년 3월부터 2002년 6월까지의 원/달러 환율과 엔/달러 환율의 변동추이를 보여주고 있다. 엔화 환율의 경우 91년부터 95년 4월까지 강세(평가절상)를 보여온 데 반해 원화는 93년까지는 약세(평가절하)를 보인 후 94년부터 95년 7월 말까지 완만한 강세로 전환되었다. IMF 외환위기 이후 99년 말까지 원화와 엔화 모두 미달러화에 대해 대체로 강세를 보였지만, 2000년 이후부터는 횡보하는 것으로 보여진다. 외관상 외환위기 이전 시기에는 장기적인 균형관계, 즉 공적분관계가 성립하지 않는 것으로 보여지나 최근에는 유사한 변동행태를 보이는 것으로 판단된다.

[표 1] 기초통계량 비교

	평균	표준편차	왜도	첨도	Jarque-Bera의 Q통계량 (p-value)
원달러 환율	964.98	244.69	0.807	2.491	353.61 (0.000)
엔달러 환율	118.26	14.80	0.214	2.897	23.919 (0.000006)

* Jarque-Bera의 Q통계량은 시계열이 정규분포인지를 검정하기 위한 통계량으로 정규분포에서

만들어진 왜도, 첨도와의 차이를 측정으로 다음과 같이 계산된다.

[eqn: Q= { N-k} over {6} LEFT ( { S}^{2}+ { 1} over {4}{( K-3)}^{2 } RIGHT )]

여기서 S는 왜도, K는 첨도이고 k는 계수의 수임.

정규분포한다는 귀무가설하에서 Q통계량은[eqn: { chi }^{2}(2)]분포를 따른다.

Jarque-Bera의 Q통계량으로 볼 때, 원/달러 환율은 정규성 귀무가설을 강하게 기각하는 것으로 보여진다. 엔/달러 환율도 정규성 가설은 기각하지만, 그 정도는 상대적으로 약한 것으로 보인다. 이는 엔/달러 환율시계열이 원/달러 환율보다 정규분포에 가깝다는 것으로 엔화시장의 효율성 정도가 원화시장보다 더 높기 때문인 것으로 추측된다. .

원/달러 환율자료에서는 자기상관이 매우 느리게 감소하는데, 이는 원화 환율이 단위근을 가지는 비정상적인 시계열일 가능성이 높음을 함의하는 것이다. 엔/달러 환율도 자기상관은 느리게 감소하지만, 원화 환율에 비해서는 상대적으로 감소폭이 큰 것으로 보여진다.

다음 [표 2]에서는 시차에 따른 두 환율변수(수준)의 자기상관계수를 보여주고 있다.

[표 2] 자기상관계수의 비교

시 차	원달러 환율	엔달러 환율
1	0.998	0.997
2	0.995	0.995
3	0.992	0.992
4	0.991	0.989
5	0.991	0.987
6	0.991	0.984
7	0.990	0.981
8	0.988	0.978
9	0.985	0.976
10	0.983	0.973
25	0.951	0.925
50	0.891	0.837
100	0.803	0.668

1. 단위근 검정

두 자료에 대한 자기상관분석에서 비정상성(nonstationarity)의 증상이 나타났으므로 단위근이 존재하는지 여부를 검정해볼 필요가 있다. 먼저, 원/달러 환율에 대한 ADF타입의 단위근 검정을 수행한 결과, 환율수준자료는 10% 유의수준에서도 단위근이 존재한다는 귀무가설을 기각할 수 없었다. 엔/달러 환율도 하나의 단위근을 가지고 있는 것으로 나타났다. ADF타입의 단위근 검정결과는 다음 [표 3]에서 정리하고 있다.

[표 3] 단위근 검정결과

		ADF검정통계량	비고
원달러 환율	수준	-1.030	단위근 존재	I(1)과정
	1차 차분	-31.205	단위근 존재하지 않음
엔달러 환율	수준	-2.376	단위근 존재	I(1)과정
	1차 차분	-24.270	단위근 존재하지 않음

*임계치 : -3.4356(10%), -2.8630(5%), -2.5676(1%)

*Phillips-Perron방식의 검정결과도 동일함.

[표 3]에서 보여지듯이, 원/달러 환율과 엔/달러 환율에 대한 표준적인 단위근 검정결과는 이 두 변수가 모두 [eqn: I`(1)`]과정임을 제기하고 있다. 따라서 우리는 이 두 환율자료가 공적분관계를 가지고 있을 가능성에 주목할 필요가 있다. 이는 비정상적인 두 변수의 선형결합이 정상적인 과정임에도 불구하고 이를 무시하고 단지 차분을 한 후 회귀분석을 수행하면 두 변수간의 장기관계에 대한 정보가 사라지기 때문이다.

2. 공적분관계 검정

앞서 언급한 바와 같이, 우리는 단위근을 가지는 비정상적인 두 변수가 공적분관계를 가지는지를 살펴볼 필요가 있다. 만약 공적분이 성립한다면, 두 변수는 장기적인 균형관계를 가지는 것이기 때문이다. 단위근 검정결과, 모든 수준변수들이 1차 적분, 즉 [eqn: I`(1)`]과정으로 나타남에 따라 변수들 사이의 안정적인 선형결합이 존재하는지 여부를 검증하기 위해 Johansen방식의 공적분검정을 실시하였다.

전체표본에 대한 공적분 검정결과는 [표 4]에서 보여지는데, 우도비 검정통계량(Trace 통계량)이 5% 유의수준에서 임계치를 넘어서지 못하므로 표준적인 공적분관계가 존재하지 않는다는 귀무가설을 기각할 수 없다.

) Johansen방식의 공적분 검정통계량에는 Trace통계량 이외에 Max통계량이 있는데, Max통계량은 대립가설을 보다 구체적으로 설정한다는 점에서 차이가 있다. 이에 대한 자세한 논의는 Hamiton(1994)나 김명직·장국현, 『금융시계열분석』(1998)을 참조하시오.

[표 4] 공적분 검정결과 (전체표본)

귀무가설	특성근	우도비 검정통계량 (LR statistic)	5% 임계치	1% 임계치
공적분 존재	0.0025	8.217	15.41	20.04

*여기서 우도비 검정통계량(LR test statistic)은 다음과 같이 계산된다.

[eqn: LR``=``-T SUM from { {i}=r+1} to p ln(1- lambda _i )]

여기서 T는 관찰치 수, □는 특성근의 값임.

앞서 [그림 1]에서 보여지듯이, 최근으로 올수록 원/달러 환율과 엔/달러 환율은 유사한 움직임을 보여주고 있으므로 전체표본에서 외환위기 이후인 98년 4월부터의 자료를 부분표본으로 재구성하여 단위근과 공적분 검정을 수행하여 보았다.

부분표본에 대한 단위근 검정결과, 두 환율자료는 모두 하나의 단위근을 가지는 것으로 나타났다. 따라서 공적분검정의 필요조건이 만족되므로 부분표본에 대해서도 Johansen타입의 공적분검정을 수행하였다.

) 원화 환율의 경우에 10% 유의수준하에서는 단위근을 가진다는 귀무가설을 기각하였으나, 5% 유의수준에서는 단위근을 가지는 것으로 나타났으므로 I(1)과정으로 간주하였다.

[표 5] 공적분 검정결과 (부분표본)

귀무가설	특성근	우도비 검정통계량	5% 임계치	1% 임계치
공적분 존재	0.0145	18.447	15.41	20.04

위 표에서 보여지듯이, 우도비 검정통계량이 5% 유의수준의 임계치를 넘어서는 것으로 나타나므로 부분표본에 대한 공적분 검정결과는 전체표본에서와는 달리 공적분관계가 성립하였다. 이러한 결과로 볼 때, 우리나라에서 외환거래와 환율변동이 완전히 자유화된 □98년 이후에 원/달러 환율과 엔/달러 환율이 장기적인 균형관계를 보이는 것으로 추론할 수 있다.

그렇지만, 이러한 실증적인 결과는 두 변수 사이의 장기적인 관계에 대한 것이므로 최근 들어 외환시장에서 자주 제기되는 원-엔 환율의 동조화 현상은 보다 단기적인 분석방법을 이용하여 검토할 필요가 있다.

3. 반영도 분석

본절에서는 전체표본과 IMF이후 표본에서 엔/달러 환율이 원/달러 환율변동을 얼마나 영향을 미치는지를 살펴보기 위해 반영도를 추정하려고 한다. 반영도는 두 변수를 대수변환한 후 단순회귀분석을 수행하여 얻어질 수 있는데, 추정된 기울기 회귀계수가 곧 반영도이다. 즉, 이 수치는 엔/달러 환율(설명변수)이 1% 변할 때 원/달러 환율(종속변수)이 몇 %만큼 변하는지를 보여지는 지표이므로 단기적인 연관성을 표현할 수 있다.

그러나, 앞서 단위근 검정에서 보았듯이, 전체표본과 부분표본에서 두 변수가 모두 비정상적이었으므로 환율수준에서의 통상적인 회귀분석은 가성회귀(spurious regression)의 문제가 존재한다. 따라서 여기서는 두 환율수준자료를 우선 로그 1차 차분한 다음, 회귀분석을 통하여 반영도를 산출하여 보았다.

) Tsay-Chung(2000)에 의하면, 두 변수가 정상적이라고 하더라도 차분계수의 합이 0.5보다 크기만 하면 가성효과를 발생시킬 수 있음을 경고하고 있다.

다음의 [표 6]에서는 전체표본과 외환위기 이후의 부분표본에서 추정된 엔화 환율변동의 반영도와 두 변수사이의 상관계수를 보여준다.

[표 6] 반영도와 상관계수

	반영도	상관계수
전체표본	0.068 (2.910)	0.123
98년 4월 이후	0.0181 (0.864)	0.834

* 괄호안은 t-value임.

위 표에서도 역시 외환위기 이후 원/달러 환율과 엔/달러 환율의 상관성 정도가 커졌음을 파악할 수 있다. 그러나, 추정된 회귀계수(반영도)는 큰 차이를 보이지 않으며 부분표본에서는 통계적으로 유의적이지 않다.

반영도와 관련하여, 신민영(2002)은 2002년 한 해의 표본에서 반영도가 0.94로 추정되어 이전기간보다 원-엔 동조화 현상이 최근 들어 심화되었다고 주장하고 있으나, 이러한 결과는 표본편의(sample bias)의 문제에 노출되어 있다고 판단된다. 즉, 선택된 연도에 따라 반영도 추정치가 상당히 큰 편차를 보이므로 분명한 결론을 위해서는 보다 엄밀한 분석이 요구된다고 할 수 있다. 한편, 시차에 따르는 상관관계의 변화를 파악하기 위해 교차상관계수(cross correlation coefficients)도 산출하여 보았으나 뚜렷한 특징은 찾을 수 없었다.

) 신민영(2002)의 분석결과에 의하면, 반영도는 99년에 0.16, 2000년에 0.98, 2001년에 0.37, 2002년에 0.94로 추정되어 해마다 큰 폭의 편차를 보이고 있다. 물론 엔화 환율의 평가절하 여부와 환율변동성의 크기에 따라 반영도가 영향을 받을 가능성이 있으므로 신중한 결론을 위해서는 보다 세밀한 분석이 필요하다고 판단된다.

우리는 지금까지 두 변수간의 장기적인 균형관계를 검정하는 공적분과 단기적인 상관성을 파악하는 반영도와 상관계수를 이용하여 원/달러 환율과 엔/달러 환율의 관계를 검토하여 보았다. 시장평균환율제도를 시행한 이후부터의 자료인 전체표본에서는 단기적인 상관성도 약하게 나타났으며 장기적인 균형(공적분)관계도 성립하지 않았다.

하지만 자본자유화와 시장개방의 폭이 확대된 외환위기 이후에는 뚜렷하게 상관성 정도가 증대되었으며 표준적인 공적분관계도 성립하는 것으로 나타났다. 이러한 결과는 최근 들어 자주 제기되고 있는 원-엔 동조화 현상을 실증적으로 뒷받침한다고 볼 수 있다. 그러나, 이러한 분석결과만으로는 두 환율변수의 균형관계가 일시적 이탈로부터 얼마나 빨리 회복하는지, 평균회귀로의 수렴속도가 얼마나 빠른지에 대해서는 별다른 정보를 얻을 수 없다. 이는 표준적인 공적분검정이 앞서 언급한 바와 같이 [eqn: I`(0)`/`I`(1)]의 너무 제약적인 구분을 하기 때문이다. 따라서 장기적인 균형관계로의 회귀속도를 파악하기 위해 균형오차의 차분계수를 추정할 필요가 있다.

4. 균형오차에 대한 차분계수 추정

전체표본에 대한 표준적인 공적분검정에서 원/달러 환율과 엔/달러 환율의 장기적인 균형관계, 즉 공적분관계가 성립하지 않는 것으로 나타났으나, 이는 앞서 언급한 바와 같은 균형오차가 [eqn: I`(0)]과정이어야 한다는 엄격한 제약때문일 수 있다. 따라서 본 연구에서는 균형오차의 장기기억특성을 고려하기 위해 오차항의 차분계수를 GPH방식으로 추정하여 보았다.

오차항의 차분계수를 추정하기 위해 전체표본에 대해 선형회귀모형을 추정한 결과는 다음과 같다.

[eqn: Y_t ```=``-4431.347`+`45.649`times`X_t]

여기서 [eqn: Y_t `]는 원/달러 환율, [eqn: X_t `]는 엔/달러 환율이다.

위 식으로부터 얻어진 잔차에 대한 GPH방식의 차분계수의 추정결과는 다음과 같다.

[표 7] 회귀잔차에 대한 차분계수 추정결과 (전체표본)

GPH방식에 의한 차분계수 추정 (전체표본)
	추정치	표준오차 (t통계량)
차분계수(d)	0.555	0.019 (29.8)

위 표에서 보여지듯이, 잔차의 분수차분계수의 추정결과는 0보다 크지만 1보다는 작게 나타나므로 장기기억특성을 보이고 있다. 이러한 결과는 표준적인 공적분 검정결과와는 달리 잔차가 궁극적으로 평균회귀성향을 보임을 의미하며, 이는 두 변수가 분수공적분 관계를 가지고 있음을 함의한다. 추정된 차분계수의 크기로 볼 때, 두 환율이 장기적인 균형관계를 가지고는 있지만 균형으로의 수렴속도가 상당히 느리다고 할 수 있다.

앞서 우리는 단기적인 상관성의 정도 뿐 아니라 공적분관계도 전체표본과 부분표본에서 달라졌음을 확인하였다. 부분표본에 대한 표준적인 공적분 검정결과는 균형오차가 [eqn: I`(0)]과정임을 의미하는 것이지만 이는 매우 제약된 결과이다. 따라서 여기서는 외환위기 이후의 부분표본에서 장기적인 균형관계로의 회귀속도가 얼마나 빨라졌는지를 파악하기 위해 차분계수를 추정하여 보았다. 부분표본에 대한 공적분검정에서 얻어진 정규화된 공적분 관계는 다음과 같다.

[eqn: Y_t ```=``449.82`-`6.602`times`X_t]

여기서 [eqn: Y_t `]는 원달러 환율, [eqn: X_t `]는 엔달러 환율이다.

부분표본에서 얻어진 공적분잔차에 대한 GPH방식의 차분계수 추정결과는 다음과 같다.

[표 8] 공적분 잔차의 차분계수 추정결과 (부분표본)

GPH방식에 의한 차분계수 추정 (부분표본)
	추정치	표준오차 (t통계량)
차분계수(d)	0.378	0.038 (9.97)

[표 8]에 의하면, 우리는 외환위기 이후의 부분표본에 대한 균형오차의 차분계수가 0.3784로 전체표본에서의 추정치(0.555)에 비해 상당히 감소하였음을 확인할 수 있다. 이러한 결과는 원/달러 환율과 엔/달러 환율의 관계가 더 강해졌음을 함의하는 것으로 균형관계로의 이탈시 회귀속도가 98년 이후에 상당히 빨라졌음을 가리키는 것이다.

다음의 [그림 3]는 전체표본과 부분표본에서의 공적분 잔차의 코릴로그램(correlogram)을 보여주는데, 전체표본에 비해 부분표본에서 공적분 잔차의 자기상관이 빠르게 감소하고 있음을 확인할 수 있다.

[그림 3] 잔차의 자기상관 비교 (전체표본 vs 부분표본)

이와 같이 외환위기 이후의 부분표본에서 균형오차가 상대적으로 빠르게 소멸된다고 하더라도 공적분 잔차의 차분계수가 0에 비해서는 여전히 큰 값이므로 표준적인 공적분검정에서 간주하는 것에 비해서는 균형관계로의 수렴이 지수적으로 빠르게 나타나지는 않는다고 볼 수 있다. 즉, 원화 환율과 엔화 환율은 CI(1,1)의 표준적인 공적분관계가 아니라 균형오차가 장기기억을 가지는 분수공적분(fractional cointegration) 관계를 가진다. 따라서 시장분석가들이 생각하듯이, 원/달러 환율과 엔/달러 환율이 단기에 동조화되는 현상은 일반적인 사실로 받아들이기 어렵다고 판단된다.

Ⅳ. 결론

환율동학의 본질적인 특성으로서 장기동학(long-run dynamics)의 가능성은 오랫동안 인식되어져 온 사실이다. Kaen-Rosenman(1986)은 외환시장이 급격한 변동과 불규칙한 순환(irregular cycles)을 보이는 경향을 보인다고 주장하였으며, 실제 불완전 정보와 제한합리성하의 금융시장에서 투자자들은 기술적 분석에 의한 군집행태(herd behavior)를 따르기 쉬운 것으로 판단된다. 그러한 행태는 동일 방향에서 지속적인 가격움직임과 뒤이은 급격한 반전(reversals)과 같은 시계열의 장기기억구조를 만들어낼 수 있다.

실증적인 관점에서 시계열의 장기동학은 많은 통계적 검정과 모형화의 대상이 되어 왔다. Lothian(1998)은 환율에 있어서 평균회귀행태를 분석하는데 기본적인 문제를 강조하였는데, 평균회귀에 대한 검정은 단기동학을 허용하면서 장기동학을 포괄할 수 있는 적절한 모형화방식을 탐색해야 한다는 것이다. 이러한 실증적인 문제는 저빈도(영구적)와 고빈도(일시적) 요인들을 구분하는 통계적 기법의 능력에 많이 의존하는 것이다. 장기동학의 존재는 단위근 검정의 검정력(power)을 약화시켜 실제로 존재하는 평균회귀특성을 식별하기 어렵게 만든다. 따라서 시계열분석에서 장기기억특성을 고려하는 문제는 평균회귀성향과 관련된 문제(예 : PPP검정)에서 핵심적인 것이다.

본 연구의 실증분석에서는 이러한 장기기억구조를 고려하는 분수공적분 기법을 이용하여 원/달러 환율과 엔/달러 환율 사이에 안정적인 균형관계가 성립함을 확인하였다. 그렇다면 왜 원화환율과 엔화환율이 그러한 관계를 가지며, 왜 최근 들어 상관성의 정도가 심해지는가에 대한 의문이 제기될 수 있다. 이에 대한 가능한 설명은 다음 두 가지로 정리될 수 있을 것이다.

첫째, 우리와 일본 두 나라간에 해외시장에서의 수출경합도가 증가하고 있다는 점이다.

예를 들어, 가격이외의 다른 조건이 비슷한 양국의 수출품이 미국이나 유럽지역에서 경쟁하는 경우에, 엔화 환율이 미달러화에 대해 절하될 경우 원화 환율이 그 수준미만으로 절하된다면 우리의 수출경쟁력은 그만큼 악화될 것이다. 이러한 문제로 인해 원-엔 환율의 동조화 현상이 심화된다고 볼 수 있다.

둘째로는 금융시장의 개방과 외환거래의 자유화로 인해 원화 환율이 주요국의 통화변화에 밀접하게 반응하기 때문으로 볼 수 있다. 즉, 엔/달러 환율의 변화가 국내경제에 미치는 파장이 외환시장을 통해 전달되는 속도가 빨라지고 있다. 이는 자본이동에 대한 제한이 어느 정도 존재했던 시기를 포함하는 전체표본에 비해 외환위기 이후의 부분표본에서 균형관계로의 수렴속도가 빨라졌다는 본 연구의 실증분석결과에서도 확인된 결과이다.

과거에는 엔/달러 환율이 원/달러 환율에 영향을 미치는 주된 경로가 실물부문인 국제수지였으므로 엔화 환율변동이 어느 정도의 시차를 가지고 원화 환율에 영향을 미쳤다. 하지만 이제는 금융시장 참여자들이 엔화 환율의 변화가 원화 환율 변화를 야기할 것이라는 예상을 그들의 의사결정에 즉각적으로 반영함으로써 원-엔간의 동조화 현상이 강화되고 있다고 볼 수 있다.

이와 같이, 원/달러 환율이 엔/달러 환율에 동조하는 현상이 지속되는 것은 우리 경제를 통제가 어려운 외부 여건변화에 취약하게 함으로써 경제의 안정성을 저해하는 요인으로 작용할 수 있다. 따라서 이를 완화하기 위해서는 실물부문의 R&D투자 확대 등을 통해 가격 이외의 수출경쟁력을 확보하는 노력이 필요할 것이다. 또한 결제통화인 달러화와 동조화 현상이 나타나는 엔화의 불일치로 기업들의 환리스크에 대한 노출이 증대되고 있으며, 금융기관들도 해외자본 조달 및 운용시 환율변동 리스크에 직면하고 있다. 따라서 기업들은 무역거래시 결제통화를 다변화, 특히 엔화 결제비중을 높일 필요가 있으며, 금융기관들은 해외자본 조달시 원/달러 환율의 변동성이 증대되고 있음에 유의해야할 것이다.

본 연구는 최근 이슈로 제기되고 있는 원화 환율과 엔화 환율간의 동조화 현상을 장기기억특성을 고려하는 분수공적분 방식을 사용하여 검토하여 보았다. 분석결과, 표준적인 공적분검정과는 달리, 전체표본(1990.3.2∼2002.6.28)에서 두 변수 사이의 안정적인 균형관계가 발견되었다. IMF 외환위기 이후의 자료인 부분표본(1998.4.1∼2002.6.28)에 대한 분석에서도 표준적인 공적분 검정결과는 균형오차가 I(0)과정으로 균형에서의 이탈이 빠르게 사라지게 됨을 가리키고 있지만, 분수공적분을 이용한 검정결과는 균형오차가 대략 0.38의 분수차분계수를 가지는 것으로 나타나 균형에서의 이탈이 비교적 느리게 소멸하게 됨을 보여주었다.

기존 변수들간의 단기적인 상관성을 파악하기 위해 일반적으로 이용되고 있는 반응도 추정과 상관계수의 산출이 통계적으로 신뢰할만한 결과를 보이지 못한다는 사실을 고려해볼 때, 분수공적분을 이용한 본 연구의 분석결과는 비교적 일관된 결론을 유도하고 있으며 외환위기 이후 동조화가 심화되었다고 간주하는 일반적인 직관과도 상응하고 있다. 그럼에도 본 연구에서의 분석 틀이 두 변수의 장기적인 관계에 대한 검정을 기반으로 하고 있으므로 평가절하기와 절상기에 있어서 동조화 정도의 차이 등과 같은 문제제기가 가능한 이슈에 대해 적절한 설명을 제공할 수 없다는 한계를 가진다. 이러한 문제에 대한 구체적인 실증분석은 이후의 연구과제로 남겨둔다.

) 일반적으로 엔화의 절상기보다 절하기에 동조화의 정도가 심할 것으로 추측된다. 이는 통화당국이 수출경쟁력을 의식해 엔화절상기에는 원화절상을 방어하려고 하지만 엔화 절하기에는 원화절하를 그대로 용인할 유인이 존재하기 때문이다.

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